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在 《数学问题,连接两个点的曲线旋转所成曲面中,面积最小的曲线是什么?》 里 的 讨论

时间:2021-09-24 18:16:53      阅读:18      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

网友  思维机器 在  反相吧  发了一个 帖 《数学问题,连接两个点的曲线旋转所成曲面中,面积最小的曲线是什么?》      。

 

回复 10 楼,   简单的情况,    A B 点 的 y 坐标相同,  那么,   最小面积 解 出现在  AB 线段(一字型) 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间,    也就是 线段 AB 和 折线 ACDB  之间  。

 

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AB 间 距离 记为 AB, AC 长度 记为 R,  EC 长度 记为 r,  AB > 0 ,  R > 0 , R > r ,  r >= 0  。 可以证明, 只要满足  AB > R - r ,  折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。  也就是说, 无论 AB 间 的  距离 多小,   总是 可以有 折线  AEFB  旋转的面积 比  线段 AB 旋转 的 面积小 。 

 

还可以 证明,   当  r = R  -  AB / 2   时,   折线  AEFB 的 旋转面积 取 极值点(极小值),   AEFB 旋转面积 最小  。

显然,  当  r > 0  时,  E  在  AC 上 ;  当  r = 0  时 ,   E 和 C 重合,   EF 和 CD 重合;    当  r < 0  时,    E 在 AC 的 延长线 上,  这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 ,  此时  AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值,  但是是 最小值  。

 

第一个 证明 是一个 一元一次不等式,   第二个证明 是 二次函数 求 极值,  不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的,  过程 就不写上来了  。

 

以上说明,   在  AC 上 存在 一点 E,  E 不和 A 重合,    使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。

 

这是  折线 的 最小解,     曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等,    这个 是 不确定 的,     需要  数学 上 证明  。

 

但 从 折线 可以 看到 一些 趋势,    比如  曲线 的 最小解  也 可能 只有 一个  。

 

 

 

 

在 《数学问题,连接两个点的曲线旋转所成曲面中,面积最小的曲线是什么?》 里 的 讨论

原文:https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15310729.html

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